Метод преобразования

Метод преобразования представляет собой переход от общего положения геометрической фигуры к частному, который можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции двумя путями:

во-первых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве.

во-вторых, перемещением плоскостей проекций в новое положение, по отношению к которому проецируемая фигура (которая не меняет своего положения в пространстве) окажется в частном положении.

Первый путь лежит в основе метода плоскопараллельного перемещения; второй составляет теоретическую базу метода перемены плоскостей проекций.

В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений при этом определяются не только сложностью задачи, но и в значительной степени зависят от того с какими проекциями (удобными, неудобными) приходится иметь дело. Задачи решаются значительно проще в случае если используется метод преобразования общего положения геометрической фигуры относительно плоскости проекции к частному.

Из приведенных ниже примеров проецирования прямоугольного треугольника видно, что вид проекции (ее форма и размеры) определяются не только формой и размерами проецируемой фигуры, но и в значительной степени зависит от взаимного расположения объекта проецирования и плоскости проекций.

Метод преобразования

Действительно, три конгруентных прямоугольных треугольника ΔABC≅ΔA₁B₁C₁≅ΔA₂B₂C₂ (рисунок) в зависимости от взаимного расположения плоскости треугольника и плоскости проекции V могут проецироваться на эту плоскость:
а) в виде ΔA"B"C" = ΔABC, если плоскость треугольника занимает произвольное положение относительно плоскости V.
    ΔA"B"C" в метрическом отношении не имеет ничего общего с оригиналом - ΔABC (рисунок слева);
б) в виде отрезка прямой [C"₁B"₁], в случае, когда плоскость ΔA₁B₁C₁⊥V (рисунок в центре);
в) либо в виде ΔA"₂B"₂C"₂ ≅ ΔA₂B₂C₂, когда плоскость ΔA₂B₂C₂ ║ V (рисунок справа)

Сопоставляя между собой оригинал и его ортогональную проекцию, мы видим, что только в случае параллельности проецируемой фигуры плоскости проекции возможно получить проекцию на эту плоскость, конгруентную самой фигуре, и, следовательно, полностью сохраняющую ее метрику. Форма и размеры фронтальной проекции ΔA"₂B"₂C"₂ (рисунок справа) позволяют без каких либо построений ответить на вопросы: какова длина сторон треугольника, величина углов при вершинах, чему равна его площадь и другие метрические характеристики ΔA₂B₂C₂.

На рисунке показаны плоскость α, заданная двумя параллельными прямыми a и b, и пересекающая ее прямая m.

Метод преобразования

На рисунке (слева) плоскость α общего положения. На рисунке справа плоскость α занимает проецирующее положение по отношению к горизонтальной плоскости проекции. Для определения точки K, в которой прямая m пересекает плоскость α, в случае показанном на рисунке слева необходимо выполнить дополнительные геометрические построения. В то же время, определение точки K на рисунке справа может быть выполнено непосредственно на чертеже (эпюре) без каких-либо дополнительных построений.

Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры следует считать:
а) положение перпендикулярное к плоскости проекции (для решения позиционных, а в ряде случаев, и метрических задач);
б) положение, параллельное по отношению к плоскости проекции (при решении метрических задач).