Сечение прямого кругового конусаВ сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка - окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса. ![]() Сечение прямого кругового конуса Сечение прямого кругового конуса дает - окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности. Сечение прямого кругового конуса дает - эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности. Построим эллиптическое сечение прямого кругового конуса ω плоскостью α, занимающей общее положение. Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение. ![]() Сечение прямого кругового конуса Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V1 построим след плоскости α и проекцию поверхности конуса ω. Сечение прямого кругового конуса плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка. На следе плоскости αV берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V1, получая точку 3"1. Через нее и пройдет след αV1. Линия сечения конуса ω - точки A"1, E"1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V1 ее след γ3V1. Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α даст горизонтальную прямую h3. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K` пересечения плоскости α c конической поверхностью ω. Фронтальные проекции искомых точек C" и K" построим как точки принадлежащие секущей плоскости α. Для нахождения точки E(E`, E") линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ2H, которая пересечет плоскость α по прямой 1-2(1`-2`, 1"-2"). Пересечение 1"-2" с линией связи дает точку E" - наивысшую точку линии сечения. Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ5H и находим горизонтальную проекцию F`искомой точки. Также, плоскость γ5H пересечет плоскость α по фронтали f(f`, f"). Пересечение f" с линией связи дает точку F". Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G - одну из характерных точек линии пересечения. Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V. Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией. Сечение прямого кругового конуса дает - параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса. При построении проекций кривых - конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса. Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD). ![]() Сечение прямого кругового конуса В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A"). Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S`. По известному [S`A`]=RS` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R. Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено: ![]() Сечение прямого кругового конуса - с помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ1H и γ2H. Сначала определятся фронтальные проекции точек F", G" - на пересечении образующих S"1", S"2" и следа секущей плоскости αV. На пересечении линий связи с γ1H и γ2H определяться F`, G`. Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D", E" и D`, E`. - с помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ3V и γ4V. Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H, будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые. Сечение прямого кругового конуса дает - гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса. ![]() Сечение прямого кругового конуса +
|